全书只取区分（distinction）与指示（indication）为给定，外加一条不可分离性：不作区分即无法指示——于是「取区分之形式为形式（the form）」。定义仅一条：「区分即完美的涵纳」（Distinction is perfect continence）：以两侧分明的边界安排出一种状态，使一侧的点不穿越边界便不能到达另一侧（作者 2000 年自注：continence 取「容纳」古义）。区分必有动机（motive），动机必源于两侧内容价值（value）之差；有价值即可命名。「名之被召唤」与「越界之意图」皆可与「内容之价值」同一——两条同一各自结晶为一条公理。

全书第一道也是唯一一道建构指令：「画出一个区分」。由此唤出第一区分、被剖开（severed / cloven）的空间及其两侧、标记（mark）、已标记态 / 未标记态、标记之记号（token）与名为十字（cross）的算符。记号身兼二职：既是已标记态之名，又是「穿越第一区分之边界」的指令——名与令在此简并 / 凝缩为一符，注释明言：「正是这种凝缩赋予符号以力量。」两条公理写入记号即得仅有的两条原始方程；十字之间只许一种关系——涵纳；简单表达式恰有两个：一个空十字与一片空白。

前五条典章（canons）被唤出：①意图约定——「凡未被允许者即被禁止」；②指涉收缩——指令可收缩到仍可被遵行的任何程度；③代换约定；④化简假设——设一排列之值即其可化归到的简单表达式之值；⑤指涉扩张——任何指涉形式可无限分裂（由此凝缩 / 确认合称「数」之步，消却 / 补偿合称「序」之步）。第四典章当场立债：有些排列可能有多条化简路径、有些可能化不动，故日后必须证明任何排列皆可化简、且一切路径同归一果。以两原始方程为初始式（initials），得指示演算（calculus of indications）；仅由其直接后承生成者为初级算术。

表征定理 T1–T4 偿还第三章之债：T1（形式）给出化简程序并证明任何有限十字排列皆可化归——其证明默认书写于平面，注释点破这是一个隐蔽约定：写在环面上 T1 即不成立，「数学的进步正在于把隐蔽约定变为显明约定」；T2（内容）：空间遍布一个空十字则其值为已标记态；T3（一致）：化简唯一——以 m / n 逐层标注的程序证得，第六典章（支配规则）随之成立；T4（区别）：自不同简单表达式出发之值恒不相混——演算被证明一致。程序定理 T5–T7 中，T5 即 x = x：作者自注「以往作者只能把它当公理；我是第一个从自己的公理把它证明出来的作者」。联结定理 T8、T9 被明言为「进入新演算的大门」。

初级算术里只有一种带单一性质的常量（十字），于是「考虑该性质之在场与否无关紧要」即产生变量——作者认为这印证了维特根斯坦：命题演算中的变量代表的不是命题而只是命题的真值。以 T8、T9 脱离语境为初始式，得初级代数（primary algebra）：J1 位置（position）、J2 转置（transposition）。配两条通则——R1 代换（substitution）与 R2 置换（replacement）；作者自注：这是两条普适代数规则第一次被正确陈述，「唯一尝试过陈述它们的另一位作者是塔斯基，而他弄错了」。

由 J1、J2 演证出九条后承（consequences）C1–C9（C1 的六步美证出自作者学生 Utting，1966）。章末藏一个微型哥德尔式事件：若允许「对步骤本身再取步骤」，所得演算不一致——化解之道是规定「包括零步在内的任何步数皆算一步」，与「步骤本不意在穿越边界」的本性相合。注释给出深刻判断：代数中的操作数只是被猜想在场或缺席的操作符——把 ∨、∧ 外推到零变元，( )_∨ 与 ( )_∧ 即两枚「基本粒子」，0、1、T、F 皆可废除；并留一条脚注：此代数应称 brownian 而非 boolean，因布尔及此前一切代数都受「次序相关」与「二元辖域」两重残障所困。

T10–T13 将 J2、C8、C9、C2 的辖域推广到任意划分与任意深度；T14（关于常量的规范）：任何表达式等价于深度不超过 2 者；T15（关于变量的规范）：任何表达式等价于任一给定变量出现不超过 2 次者。这两条规范形是第九章完备性证明的机械基础。

引入内容（content）/ 像（image）/ 映照（reflexion）三联与指示空间；第七典章（相关性原则）解释未写出的十字与隐性值为何无须书写。核心论断：后承之可接受，因为规则是我们定的，只需示其循规而行；定理之可接受，因为其所述显明——「若有人不接受一个证明，我们只能另试一个」。把证明程序法典化只给证明以融贯而非证据：「定理之被逻辑与计算证明，不多于十四行诗之被文法与修辞写成。」T16 桥定理（若两表达式在一个变量的每一取值下等价则等价）以透明 / 不透明的第八典章（传导原则）证得——作者自注：此前无人能证，只好当公理用。

T17：初级代数完备——凡可作为关于初级算术的定理被证明的方程形式，皆可在初级代数中被演证。证明对变量数归纳：借 T14 / T15 的规范形把 n 变量情形化归到 n−1；基例显示算术初始式本身可在代数中演证（C3 取 a = 得 I1；C1 取 a 为空得 I2）。注释重估哥德尔：完备性从不属于演算整体，只属于「一种表述对另一种表述的表征」；哥德尔定理非绝望之由而是庆典——它印证算术是比代数更丰饶的土地。脚注更尖锐：「哥德尔自己也弄混了他证明的东西……一切真语句皆可证明，只是在某些代数中有些不可演证。」

T18：J1 与 J2 互不可推。直接论证：仅有 J1 时，可置入或取出的只能是 之形，而 J2 搬运的 r 不必是此形；仅有 J2 时，无法消去任何相异变量，而 J1 恰能消去。注释：独立性的证明惯例是间接的，而两条初始式的体系总有直接证明可用；且「独立性证明可恰当地视为缺失该初始式之演算的不完备性证明」。

先提取第九典章（演证止于有限步）作为离境护照，随后故意违约：对 反复施 C5 / C1 / J2 / C4，生成无限梯列。关键一步：每个偶数深度处被十字罩住的部分与整个表达式全同——表达式再入（re-enter）自身内部空间，记 E1: f = 。逐案检值发现 a、b 皆未标记时方程有两个实解：表征定理失效，不定性入场。定义度（degree）：相异稳定状态之数目（振荡态亦算稳定）。极限情形分岔：E2: f = 有两实根、无矛盾；E3: f = 被两个既有状态双双拒斥——「若想假装 E3 有解，就必须允许它拥有一个表示虚态的解」。随即是全书最著名的转进：「由于我们不愿离开形式，所设想的状态不在空间中而在时间中（人可以进入时间状态而不离开其已寄身的空间状态）。」以「地道」贯穿十字使区分自毁，值以有限速度传播，遂得方波振荡；给传播以速度必须同时给以方向，速度由是发生。E3 即振荡函数——其值「在空间中不定故对形式而言为虚，在时间中却为实」；E1 即记忆函数——a、b 皆归未标记后，f 记得二者中谁最后呈过已标记态；再造一个「不但记忆而且计数」的调制函数 E4（实值需八个标识符，引入虚分量减至六个；「虚值即在把记忆拨到位后自行关断的值」）。

「形式之构想在于区分之欲。此欲既允，我们即无法逃离形式，尽管可以随意地看它。」四个圆圈实验（等号读作「混同于」is confused with）不借任何定律、初始式、定理、后承，徒手重演凝缩与消却。每个区分之两侧有双重指涉：显指涉指向其值，隐指涉指向一位外部观察者——「外侧即区分被设想为从之观看的那一侧。」第四实验逼出：圆周对外部空间之值即标记之值——「一位观察者，既然他区分了他所占据的空间，他也就是一个标记。」终章末句：第一区分、标记与观察者「不仅可以互换，而且在形式中同一」。